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【第1篇 2023年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)四大考點(diǎn)總結(jié)
在考研數(shù)學(xué)考試中關(guān)于線性代數(shù)的部分里，有關(guān)矩陣的秩、特征值與特征向量、線性方程組求解和二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷這四大考點(diǎn)，是大家一定要復(fù)習(xí)好的內(nèi)容。
線性代數(shù)占考研數(shù)學(xué)總分值的22%，約34分，以2個(gè)選擇題、1個(gè)填空題、2個(gè)解答題的形式出現(xiàn)。雖然線性代數(shù)的考點(diǎn)眾多，但要把這5個(gè)題目的分值完全收入囊中，則需要進(jìn)行重點(diǎn)題型重點(diǎn)突破。
?矩陣的秩
矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡(jiǎn)二次型的方便工具。矩陣?yán)碚撌蔷€性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容，熟悉掌握了矩陣的相關(guān)性質(zhì)與內(nèi)容，利用其來解決實(shí)際應(yīng)用問題就變得簡(jiǎn)單易行。正因?yàn)榫仃嚴(yán)碚撛谡麄€(gè)線性代數(shù)中的重要作用，使它變?yōu)榭荚嚳疾榈闹攸c(diǎn)。矩陣由那么多元素組成，每一個(gè)元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩!
通過幾十年考研考試命題，命題老師對(duì)題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關(guān)系，能變通地解答題目。例如對(duì)矩陣秩的理解，對(duì)矩陣的秩與向量組的秩之間的關(guān)系的理解，對(duì)矩陣等價(jià)與向量組等價(jià)之間區(qū)別的理解，對(duì)矩陣的秩與方程組的解之間關(guān)系的掌握，對(duì)含參數(shù)的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對(duì)概念理解的基礎(chǔ)上，聯(lián)系地看問題，及時(shí)總結(jié)結(jié)論。
?矩陣的特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對(duì)角化過程中起著決定作用，也是將二次型標(biāo)準(zhǔn)化、規(guī)范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點(diǎn)。對(duì)于特征值與特征向量，須理清其相互關(guān)系，也須能根據(jù)一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量(例如根據(jù)矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個(gè)特征值，元素均為1的列向量是其對(duì)應(yīng)的特征向量)，會(huì)處理含參數(shù)的情況。
?線性方程組求解
對(duì)線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數(shù)的方程組是考查的重點(diǎn)，對(duì)方程組解的結(jié)構(gòu)及有解的條件須熟悉。例如2023年第20題(數(shù)學(xué)二為22題)，已知三元非齊次線性方程組存在2個(gè)不同的解，求其中的參數(shù)并求方程組的通解。此題的關(guān)鍵是確定參數(shù)!而所有信息完全隱含在'a_=b存在2個(gè)不同的解'這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數(shù)矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數(shù);非齊次方程組有解故系數(shù)矩陣與增廣矩陣同秩可確定參數(shù)及b中的參數(shù)。至于確定參數(shù)后再求解非齊次方程組就變得非常簡(jiǎn)單了。
?二次型標(biāo)準(zhǔn)化與正定判斷
二次型的標(biāo)準(zhǔn)化與矩陣對(duì)角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯(lián)系。這里需要掌握一些處理含參數(shù)矩陣的方法以便運(yùn)算中節(jié)省時(shí)間。正定二次型有很優(yōu)秀的性質(zhì)，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個(gè)矩陣是否屬于這個(gè)特殊類，可以使用正定矩陣的幾個(gè)充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
【第2篇 線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第一章、行列式
知識(shí)點(diǎn)1：行列式、逆序數(shù)
知識(shí)點(diǎn)2：余子式、代數(shù)余子式
知識(shí)點(diǎn)3：行列式的性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)4：行列式按一行（列）展開公式
知識(shí)點(diǎn)5：計(jì)算行列式的方法
知識(shí)點(diǎn)6：克拉默法則
第二章、矩陣
知識(shí)點(diǎn)7：矩陣的概念、線性運(yùn)算及運(yùn)算律
知識(shí)點(diǎn)8：矩陣的乘法運(yùn)算及運(yùn)算律
知識(shí)點(diǎn)9：計(jì)算方陣的冪
知識(shí)點(diǎn)10：轉(zhuǎn)置矩陣及運(yùn)算律
知識(shí)點(diǎn)11：伴隨矩陣及其性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)12：逆矩陣及運(yùn)算律
知識(shí)點(diǎn)13：矩陣可逆的判斷
知識(shí)點(diǎn)14：方陣的行列式運(yùn)算及特殊類型的矩陣的運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)15：矩陣方程的求解
知識(shí)點(diǎn)16：初等變換的概念及其應(yīng)用
知識(shí)點(diǎn)17：初等方陣的概念
知識(shí)點(diǎn)18：初等變換與初等方陣的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)19：等價(jià)矩陣的概念與判斷
知識(shí)點(diǎn)20：矩陣的子式與最高階非零子式
知識(shí)點(diǎn)21：矩陣的秩的概念與判斷
知識(shí)點(diǎn)22：矩陣的秩的性質(zhì)與定理
知識(shí)點(diǎn)23：分塊矩陣的概念與運(yùn)算、特殊分塊陣的運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)24：矩陣分塊在解題中的技巧舉例
第三章、向量
知識(shí)點(diǎn)25：向量的概念及運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)26：向量的線性組合與線性表示
知識(shí)點(diǎn)27：向量組之間的線性表示及等價(jià)
知識(shí)點(diǎn)28：向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念
知識(shí)點(diǎn)29：線性表示與線性相關(guān)性的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)30：線性相關(guān)性的判別法
知識(shí)點(diǎn)31：向量組的最大線性無關(guān)組和向量組的.秩的概念
知識(shí)點(diǎn)32：矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)33：求向量組的最大無關(guān)組
知識(shí)點(diǎn)34：有關(guān)向量組的定理的綜合運(yùn)用
知識(shí)點(diǎn)35：內(nèi)積的概念及性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)36：正交向量組、正交陣及其性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)37：向量組的正交規(guī)范化、施密特正交化方法
知識(shí)點(diǎn)38：向量空間（數(shù)一）
知識(shí)點(diǎn)39：基變換與過渡矩陣（數(shù)一）
知識(shí)點(diǎn)40：基變換下的坐標(biāo)變換（數(shù)一）
第四章、線性方程組
知識(shí)點(diǎn)41：齊次線性方程組解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)
知識(shí)點(diǎn)42：非齊次方程組解的性質(zhì)及結(jié)構(gòu)
知識(shí)點(diǎn)43：非齊次線性線性方程組解的各種情形
知識(shí)點(diǎn)44：用初等行變換求解線性方程組
知識(shí)點(diǎn)45：線性方程組的公共解、同解
知識(shí)點(diǎn)46：方程組、矩陣方程與矩陣的乘法運(yùn)算的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)47：方程組、矩陣與向量之間的聯(lián)系及其解題技巧舉例
第五章、矩陣的特征值與特征向量
知識(shí)點(diǎn)48：特征值與特征向量的概念與性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)49：特征值和特征向量的求解
知識(shí)點(diǎn)50：相似矩陣的概念及性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)51：矩陣的相似對(duì)角化
知識(shí)點(diǎn)52：實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化.
知識(shí)點(diǎn)53：利用相似對(duì)角化求矩陣和矩陣的冪
第六章、二次型
知識(shí)點(diǎn)54：二次型及其矩陣表示
知識(shí)點(diǎn)55：矩陣的合同
知識(shí)點(diǎn)56 : 矩陣的等價(jià)、相似與合同的關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)57：二次型的標(biāo)準(zhǔn)形
知識(shí)點(diǎn)58：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
知識(shí)點(diǎn)59：用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形
知識(shí)點(diǎn)60：正定二次型的概念及判斷
【第3篇 2023考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)語在決定考研后，同學(xué)們要做的事情就是了解考試科目的知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容，做到知己知彼，這樣才能夠掌握考試，取得好的成績(jī)，考研數(shù)學(xué)也是如此。為大家整理了一些線性代數(shù)的知識(shí)點(diǎn)，分享給備考的同學(xué)們。
行列式
1、行列式本質(zhì)——就是一個(gè)數(shù)
2、行列式概念、逆序數(shù)
考研：小題，無法聯(lián)系其他知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)場(chǎng)解決。
3、二階、三階行列式具體性計(jì)算
考研：不會(huì)單獨(dú)出題，常常結(jié)合伴隨矩陣、可逆矩陣考察。
4、余子式和代數(shù)余子式
考研：代數(shù)余子式的正負(fù)是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，了解代數(shù)余子式才能學(xué)習(xí)行列式展開定理。
5、行列式展開定理
考研：核心知識(shí)點(diǎn)，必考!
6、行列式性質(zhì)
考研：核心知識(shí)點(diǎn)，必考!小題為主。
7、行列式計(jì)算的幾個(gè)題型
①、劃三角(正三角、倒三角)
②、各項(xiàng)均加到第一列(行)
③、逐項(xiàng)相加
④、分塊矩陣
⑤、找公因
這樣做的目的，在行/列消出一個(gè)0，方便運(yùn)用行列式展開定理。
考研：經(jīng)常運(yùn)用在找特征值中。
⑥數(shù)學(xué)歸納法
⑦范德蒙行列式
⑧代數(shù)余子式求和
⑨構(gòu)造新的代數(shù)余子式
8、抽象型行列式(矩陣行列式)
①轉(zhuǎn)置
②k倍
③可逆
③伴隨
④題型丨a+b丨;丨a+b-1丨;丨a-1+b丨型
(這部分內(nèi)容放在第二章，但屬于第一章的內(nèi)容)
考研：出小題概率非常大，抽象性行列式與行列式性質(zhì)結(jié)合考察。
矩陣
1、矩陣性質(zhì)
考研：與伴隨矩陣、可逆矩陣、初等矩陣結(jié)合考察。
2、數(shù)字型n階矩陣運(yùn)算
①方法一：秩是1
②方法二：含對(duì)角線上下三角為0的矩陣
③方法三：利用二項(xiàng)式定理，拆寫成e+b型
④方法四：利用分塊矩陣
⑤方法五：p-1ap=b;p-1app-1ap=b2
方法五涉及相似對(duì)角化知識(shí)。
方法三涉及高中知識(shí)。
考研：常見在大題出現(xiàn)，是大題的第一問!看到數(shù)字型n階矩陣運(yùn)算，一定出自這5個(gè)方法。
3、伴隨矩陣
考研：伴隨矩陣常與其他知識(shí)考察，與行列式、轉(zhuǎn)置、k倍、可逆、伴隨的伴隨結(jié)合考察。
4、二階矩陣的伴隨矩陣
法則：主對(duì)角線互換、副對(duì)角線填負(fù)號(hào)。
考研：如果讓求某個(gè)二階矩陣的可逆矩陣，難點(diǎn)轉(zhuǎn)化成如何計(jì)算它的伴隨矩陣。
5、可逆矩陣兩種求法
考研：可逆矩陣可與行列式、轉(zhuǎn)置、k倍、伴隨矩陣、可逆的可逆結(jié)合考察。
6、分塊矩陣
考研：以小題出現(xiàn)
7、初等矩陣
考研：小題出現(xiàn)
8、正交矩陣、對(duì)稱矩陣、反對(duì)稱矩陣
考研：第二章先知道張什么模樣，這部分內(nèi)容在二次型、相似對(duì)角化考察。
9、秩(十個(gè)公式)
考研：把秩比作答題的第二種方法，在解決向量、方程組等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，可以用傳統(tǒng)方法(解題速度慢)，也可用秩，解題速度是傳統(tǒng)方法的5倍!但是難懂。
向量
1、幾組定義(向量?jī)?nèi)積、向量的長(zhǎng)度、單位化、正交)
考研：考單位化，但是如果想理解線性代數(shù)本質(zhì)，向量?jī)?nèi)積、向量的長(zhǎng)度要懂。
2、線性相關(guān)、無關(guān)的三大判別方法
⑴、利用行列式
⑵、向量個(gè)數(shù)>;維度，必相關(guān)
⑶、利用秩
考研：小題出現(xiàn)，很少結(jié)合其他章節(jié)知識(shí)點(diǎn)。
3、線性相關(guān)無關(guān)證明題三種思路
⑴、利用定義法
⑵、用秩
⑶、反證法
考研：大題考點(diǎn)，這部分內(nèi)容可以與線性方程組結(jié)合，也可以與特征值特征向量結(jié)合，也可以與秩結(jié)合。至于如何結(jié)合，怎么結(jié)合，請(qǐng)自己歸納總結(jié)。
4、線性表出四大判別方法
⑴、利用行列式
⑵、利用秩
⑶、利用定義
⑷、利用方程組
考研：可小題、可大題，但是通是大題的某一問。
5、克拉默法則
考研：服務(wù)線性表出。
6、線性表出計(jì)算題三大思路
⑴、利用克拉默法則
⑵、構(gòu)建方程組，抓0思想
⑶、與向量組結(jié)合考等價(jià)。
考研：大題考點(diǎn)!涉及部分方程組知識(shí)和初等行變換知識(shí)。
這部分內(nèi)容涉及重要的數(shù)學(xué)思想：分類討論!!!(大題愛考)
7、線性表出證明題四個(gè)理論
考研：大題小題都有，但是近幾年小題居多。
8、極大線性無關(guān)組
考研：核心考點(diǎn)內(nèi)容和2、3知識(shí)點(diǎn)一樣，換湯不換藥
9、等價(jià)向量組
考研：小題居多，很少與其它章節(jié)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合。
線性方程組
1、基礎(chǔ)解系
(不懂就背下來，我當(dāng)時(shí)考研到10月份才茅塞頓開。)
2、齊次線性方程組與非齊次線性方程組
⑴、常規(guī)求解
⑵、解含參數(shù)的方程組
(這部分內(nèi)容最難在于化簡(jiǎn)，矩陣基礎(chǔ)要牢固!!)
⑶、利用解的三個(gè)性質(zhì)
⑷、通過矩陣運(yùn)算，構(gòu)造方程組再求解
考研：大題核心考點(diǎn)，歷年考題向量和方程組會(huì)出其中一道，而方程組的出題概率高于向量!原因如下
①、解題方法多。
②、能與矩陣相關(guān)知識(shí)聯(lián)系結(jié)合。
3、公共解、同解兩種題型
考研：重要考點(diǎn)題!
特征值與特征向量
1、特征值相關(guān)概念與計(jì)算
考研：必考題，這里面難點(diǎn)不在于特征值相關(guān)知識(shí)，而在于求解行列式相關(guān)知識(shí)。
2、特殊特征值
⑴、上三角矩陣、下三角矩陣。
⑵、秩為1的矩陣
⑶、某個(gè)矩陣拆分后，利用⑴和⑵結(jié)合。
3、相似矩陣概念及性質(zhì)
考研：不會(huì)單獨(dú)出，但一定會(huì)結(jié)合其他題目
4、相似矩陣兩種考題
如果p-1ap=b
⑴若aλ=λa→b(p-1a)=λ(p-1a)
⑵若ba=λa→a(pa)=λ(pa)
考研：這部分內(nèi)容是內(nèi)容5的基礎(chǔ)，但是如果單獨(dú)出考題，不太可能。
5、對(duì)角矩陣的相似問題
核心內(nèi)容：“搭橋”橋是λ。
考研：核心重點(diǎn)考點(diǎn)!
本內(nèi)容需要分類討論、需要基礎(chǔ)解系相關(guān)知識(shí)、又可以聯(lián)系特征值、特征向量，性質(zhì)方面也可全面考察。
6、反對(duì)稱矩陣
考研：小題
7、實(shí)對(duì)稱矩陣以及正交矩陣
考研：也是重要考點(diǎn)，大部分知識(shí)和前面一樣，不同之處在于多一個(gè)史密斯正交化。
二次型
1、二次型相關(guān)概念
內(nèi)容和微分方程有異曲同工之妙，記憶的內(nèi)容比較多，但比較簡(jiǎn)單。
考研：出小題，比如填寫一個(gè)負(fù)慣性指數(shù)。
2、矩陣的等價(jià)、相似、合同
考研：出小題，一定不可能出大題的。
3、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型、正定問題
考研：核心重點(diǎn)考點(diǎn)，內(nèi)容本身沒什么難度，只是把前面所有的知識(shí)綜合起來。
