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【第1篇 2023高一數(shù)學(xué)必修四公式總結(jié)
高一數(shù)學(xué)公式總結(jié)
復(fù)習(xí)指南
1． 注重基礎(chǔ)和通性通法
在平時的學(xué)習(xí)中，應(yīng)立足教材，學(xué)好用好教材，深入地鉆研教材，挖掘教材的潛力，注意避免眼高手低，偏重難題，搞題海戰(zhàn)術(shù)，輕視基礎(chǔ)知識和基本方法的不良傾向，當(dāng)然注重基礎(chǔ)和通性通法的同時，應(yīng)注重一題多解的探索，經(jīng)常利用變式訓(xùn)練和變式引申來提高自己的分析問題、解決問題的能力。
2.注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性
平時學(xué)習(xí)過程中應(yīng)避免只停留在“懂”上，因為聽懂了不一定會，會了不一定對，對了不一定美。即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種境界：聽——懂——會——對——美。
我們今后要在第五種境界上下功夫，每年的高考結(jié)束，結(jié)果下來都可以發(fā)現(xiàn)我們宿遷市的考生與南方的差距較大，這就是其中的一個原因。
另外我們的學(xué)生的解題的素養(yǎng)不夠，比如僅僅一點“規(guī)范答題”問題，我們老師也強調(diào)很多遍，但作為學(xué)生的你們又有幾人能夠聽進去！
希望大家還是能夠做到我經(jīng)常所講的做題的“三觀” ：
1. 審題觀 2. 思想方法觀 3. 步驟清晰、層次分明觀
3. 注重應(yīng)用意識的培養(yǎng)
注重培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析實際問題，提高數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，達到培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力的目的。
4.培養(yǎng)學(xué)習(xí)與反思的整合
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為知識并不是簡單的由教師或者其他人傳授給學(xué)生的，而只能由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識、經(jīng)驗，主動地加以建構(gòu)。學(xué)習(xí)是一個創(chuàng)造的過程，一個批判、選擇、和存疑的過程，一個充滿想象、探索和體驗的過程。你不想學(xué)，老師強行的逼迫是不容易的或者說是作用不大，俗話說“強扭的瓜不甜”嘛！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要對概念、結(jié)論和技能進行記憶，積累和模仿，而且還要動手實踐，自主探索，并且在獲得知識的基礎(chǔ)上進行反思和修正。（這也就是我們經(jīng)常將讓大家一定要好好預(yù)習(xí)，養(yǎng)成自學(xué)的好習(xí)慣。）記得有一位中科院的教授曾經(jīng)給“科學(xué)”下了一個定義：科學(xué)就是以懷疑和接納新知識作為進步的標(biāo)準(zhǔn)的一門學(xué)問，仔細(xì)想來確實很有道理！
所以我們在平時學(xué)習(xí)中要注意反思，只有這樣才能使內(nèi)容得到鞏固，知識的得到拓展，能力得到提高，思維得到優(yōu)化，創(chuàng)新能力得到真正的發(fā)展，希望大能夠讓數(shù)學(xué)反思成為我們的自然的習(xí)慣！
5.注重平時的聽課效率
聽課效率高不僅可以讓自己深刻的理解知識，而且事半功倍，可以省好多的時間。而有些同學(xué)則認(rèn)為上課時聽不到什么，索性就不聽，抓緊課堂上的每一點時間做題，多做幾道題，心里就踏實。這種認(rèn)識是不科學(xué)的，想象如果上課沒有用的話，國家還開辦學(xué)校干嘛？只要印刷課本就足夠了，學(xué)生買了書就可以自己學(xué)習(xí)到時候參加考試就行了。
想想好多東西還是在課堂上聆聽的，聽聽老師對問題的分析和解題技巧，老師是如何想到的，與自己預(yù)習(xí)時的想法比較。課堂上記下比較重要的東西，更重要的是跟著老師的思路，注重老師對題目的分析過程。課后寧愿花時間去整理筆記，因為整理筆記實際上是一種知識的整合和再創(chuàng)造！回憶課堂上老師是怎樣講的，自己在整理時有比較好的想法，就記下來，抓住自己思維的火花，因為較為深刻的思維火花往往是稍縱即逝的。
在這里我再一次強調(diào)聽課要做到“五得”
? 聽得懂 ? 想得通 ? 記得住 ? 說得出 ? 用得上2
6. 注重思想方法的學(xué)習(xí)
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，它是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，也是歷年來高考數(shù)學(xué)命題的特點之一。不少學(xué)者認(rèn)為：
“傳授知識”是數(shù)學(xué)的一種境界，加上“能力培養(yǎng)”是稍高的境界，再加上“方法滲透”是較高的境界，而再加上“提高修養(yǎng)（指數(shù)學(xué)文化和非智力引力的介入）”則是境界。作為學(xué)生一定要深刻理解數(shù)學(xué)的思想方法，它是數(shù)學(xué)的精髓，只有運用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)的知識和技能轉(zhuǎn)化為分析問題和解決問題的能力，才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點，才能形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。即使在以后我們走上社會，在工作崗位上我們的這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會內(nèi)化為自身的較深的修養(yǎng)，從而使得自己的氣質(zhì)得以升華，它對于我們今后的做人和處事有很大的指導(dǎo)意義，再加上我們的人文素養(yǎng)就可以造就自己哲學(xué)修養(yǎng)。
真心希望我的這些忠告能夠?qū)δ憬窈蟮膶W(xué)習(xí)有所幫助，果真如此，也就聊以欣慰了！
基本三角函數(shù)
ⅰ
ⅱ ? 終邊落在_軸上的角的集合：?????,??z?? 終邊落在y軸上的角的集合：????????????,??z????,??z?終邊落在與坐標(biāo)軸上的角的集合：??
?? 22????
360度?2? 弧度
l? r
?11s?l r?? r2
221???180.弧度
180 1 弧度?度180??? 弧度?倒數(shù)關(guān)系：sin?csc??1 正六邊形對角線上對應(yīng)的三角函數(shù)之積為1
cos?sec??1
tan2??1?sec2?
平方關(guān)系：sin2??cos??1 21?cot2??csc2?
乘積關(guān)系：sin??tan?cos? ， 頂點的三角函數(shù)等于相鄰的點對應(yīng)的函數(shù)乘積
ⅲ 誘導(dǎo)公式? 終邊相同的角的三角函數(shù)值相等
sin???2k???sin? , k?z cos???2k???cos? , k?z
tan???2k???tan? , k?z
?角?與角??關(guān)于_軸對稱sin??????sin?
cos?????cos?
tan??????tan?
?角???與角?關(guān)于y軸對稱sin??????sin?
cos???????cos?
tan???????tan? ?角???與角?關(guān)于原點對稱sin???????sin?
tan??????tan?cos???????cos?
?角?
2??與角?關(guān)于y?_對稱???sin
?????cos?cos??2?? ??????cos?????sin?
cos??????sin??2??2?
??????tan?????cot?tan??????cot??2??2?
上述的誘導(dǎo)公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”
ⅳ 周期問題
?
2?y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t????y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??
y?asin??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b ?0 , t?2?y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?2?
2?y?acos??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b?0 , t?????t??y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 ,
?
y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?
?
??
y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?
?
ⅴ 三角函數(shù)的性質(zhì)
y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??怎樣由y?sin_變化為y?asin??_????k ？ 振幅變化：y?sin_左右伸縮變化：
y 左右平移變化 _??)
上下平移變化y?asin(?_??)?k
ⅵ平面向量共線定理：一般地，對于兩個向量 a,a?0,b,如果有
?
一個實數(shù)?,使得??,?,則與與是共線向量 那么又且只有一個實數(shù)?,使得??.
ⅶ 線段的定比分點
?
.
op?
??當(dāng)??1時 ?當(dāng)??1時
ⅷ 向量的一個定理的類似推廣
向量共線定理： ?? ??
?推廣
? 平面向量基本定理： a??e ??e , ??其中e1,e2?1122
??
?不共線的向量
?
?推廣
??1e1 ??2e2 ??3e3,
空間向量基本定理： ?? 其中e,e,e為該空間內(nèi)的三個123??
?不共面的向量???
ⅸ一般地，設(shè)向量??_1,y1?,??_2,y2?且?,如果∥那么_1y2?_2y1?0 反過來，如果_1y2?_2y1?0,則∥.
ⅹ 一般地，對于兩個非零向量a,b 有 ???，其中θ為兩向量的夾角。
cos??
?
_1_2?y1y2_1
2?
y1
2
_2
2
?
y2
2
特別的，??? ?
2
?
如果 ??_1,y1? , ??_2,y2? 且? , 則??_1_2?y1y2特別的 , a?b?_1_2?y1y2?0
? 若正n邊形a1a2???an的中心為o , 則oa1?oa2?????oan?
三角形中的三角問題
a?b?c ?a?b?c?? ,a?b?c??,?-2
2
2
2
2
?a?b??c?
sin?a?b??sin?c? cos?a?b???cos?c? sin???cos??
?2??2?
?a?b??c?cos???sin??
?2??2?
?正弦定理：
abca?b?c
???2r? sinasinbsincsina?sinb?sinc
余弦定理：
a2?b2?c2?2bccosa , b2?a2?c2?2accosb c?a?b?2abcosc
2
2
2
b2?c2?a2a2?c2?b2cosa ?, cosb ?
2bc2ac
變形： 222
a?b?c
cosc ?2ab
?tana?tanb?tanc?tanatanbtanc
三角公式以及恒等變換
?兩角的和與差公式：sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)
sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)
cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)tan??tan?
, t(???)
1?tan?tan?tan??tan?
tan?????? , t(???)
1?tan?tan?tan??????
?二倍角公式：
sin2??2sin?cos?
cos2??2cos??1?1?2sin??cos??sin?
2tan?
tan2??
1?tan2?
2
2
2
2
tan??tan??tan??????1?tan?tan??
變形： tan??tan??tan??????1?tan?tan??
tan??tan??tan??tan?tan?tan?
其中?,?,?為三角形的三個內(nèi)角
?半角公式：
sin
?
2
??
1?cos2
?coscos??
22
2
?
tan
?
2
??
1?cossin?1?cos?
??
1?cos?1?cos?sin?
?降冪擴角公式：cos2??1?cos2?, sin2??1?cos2?
2
1
?sin??????sin??????21
?積化和差公式：cos?sin???sin??????sin??????
21
cos?cos???cos??????cos??????
21
sin?sin????cos??????cos??????
2
sin?cos????????????
sin??sin??2sin??cos??
22??????????????
sin??sin??2cos??sin??
?和差化積公式：?2??2?
?????????
cos??cos??2cos??cos?
?2??2?????????
cos??cos???2sin??sin?
?2??2
2tan
sin??
s?s?2sc
（ s?s?2cs）
c?c?2cc??c?c??2ss
?
???
?
1?tan2
2
?萬能公式:
1?tan2
cos??
1?tan2
?2
( s?t?c?? )
tan??
2tan
?
1?tan2
2
3
?三倍角公式：sin3??3sin??4sin?
3tan??tan3?
tan3??
31?3tan2?cos3??4cos??3cos?
“三四立，四立三，中間橫個小扁擔(dān)”
?
1. y?asin??bcos??
b
aa
2. y?acos??bsin??a2?b2sin????? 其中 , tan??
bb
? a2?b2cos????? 其中 , tan??ab
3. y?asin??bcos??a2?b2sin????? 其中 , tan??
aa
??a2?b2cos????? 其中 , tan??b
a2?b2sin????? 其中 , tan??
4. y?acos??bsin??
a2?b2sin?????
a
bb
?a2?b2cos????? 其中 , tan??a
注:不同的形式有不同的化歸,相同的形式也有不同的化歸,進而可以 ??a2?b2sin????? 其中 , tan??求解最值問題. 不需要死記公式,只要記憶 1. 的推導(dǎo)即表達技巧,其它的就可以直接寫出.
一般是表達式第一項是正弦的就用兩角和與差的正弦來靠,第一項是余弦的就用兩角和與差的與弦來靠. 比較容易理解和掌握.
tan??tan?
, t(???)
? 補充： 1. 由公式 1?tan?tan?
tan??tan?
tan?????? , t(???)
1?tan?tan?
tan??????
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可以推導(dǎo) ： 當(dāng)??????? 在有些題目中應(yīng)用廣泛。
2. tan??tan??tan?????tan?tan??tan????? 3. 柯西不等式(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?r.
補充
1．常見三角不等式：（1）若_?(0,
(2) 若_?(0,
2
2
2
2
2
?
4
時, ??z , ?1?tan???1?tan???2
?
2
)，則sin_?_?tan_.
?
2
22
2. sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式);
)，則1?sin_?cos_?|sin_|?|cos_|?1.
cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.
asin??bcos?
???)(輔助角?所在象限由點(a,b)的象限決定,
b
tan?? ).
a
3. 三倍角公式 ：sin3??3sin??4sin??4sin?sin(
3
?
??)sin(??). 33
?
cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??).333tan??tan3???
tan3???tan?tan(??)tan(??).
1?3tan2?33
4.三角形面積定理：（1）s?
??
111
aha?bhb?chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊222
上的高）.
111
absinc?bcsina?
casinb.(3)222
s?oab?5.三角形內(nèi)角和定理在△abc中，有a?b?c???c???(a?b)
c?a?b????2c?2??2(a?b).
222
（2）s?
6. 正弦型函數(shù)y?asin(?_??)的對稱軸為_?
k??
?
??
?
(k?z)；對稱中心
為(
k???
,0)(k?z)；類似可得余弦函數(shù)型的對稱軸和對稱中心； ?
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〈三〉易錯點提示： 1. 在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、
余弦函數(shù)的有界性了嗎？ 2. 在三角中，你知道1等于什么嗎？（
這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”
的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．
3. 你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次） 4. 你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？(
【第2篇 2023高一數(shù)學(xué)必修四知識點總結(jié)
?正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角?1、任意角?負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 ?零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角?
2、角?的頂點與原點重合，角的始邊與_軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱?為第幾象限角． ??
第二象限角的集合為??k?360?90?k?360?180,k??? 第三象限角的集合為??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合為??k?360?270???k?360?360,k???
終邊在_軸上的角的集合為????k?180,k???
終邊在y軸上的角的集合為???k?180?90,k??? 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為????k?90,k???
3、與角?終邊相同的角的集合為????k?360??,k??? 第一象限角的集合為?k?360????k?360??90?,k?? ?????????????????
4、已知?是第幾象限角，確定??n???所在象限的方法：先把各象限均分n等n_
份，再從_軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則?原來是?第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為終邊所落在的區(qū)域． n
5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．
l6、半徑為r的圓的圓心角?所對弧的長為l，則角?的弧度數(shù)的絕對值是?． r
?180?7、弧度制與角度制的換算公式：2??360，1?，1???57.3?． ?180???????
8、若扇形的圓心角為???為弧度制?，半徑為r，弧長為l，周長為c，面積為s，11則l?r?，c?2r?l，s?lr??r2． 22
9、設(shè)?是一個任意大小的角，?的終邊上任意一點?的坐標(biāo)是?_,y?，它與原點的
距離是rr?0，則sin????y_y，cos??，tan???_?0?． rr_10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．
11、三角函數(shù)線：sinα=mp，cosα=om，tanα=at． 12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：(1)sinα+cosα=1
2
2
(sin
2
α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α)；(2)
sinα
=tanα cosα
sinα??
sinα=tanαcosα,cosα= ?．
tanα??
13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：
(1)sin(2kπ+α)=sinα，cos(2kπ+α)=cosα，tan(2kπ+α)=tanα(k∈z)． (2)sin(π+α)=-sinα，cos(π+α)=-cosα，tan(π+α)=tanα． (3)sin(-α)=-sinα，cos(-α)=cosα，tan(-α)=-tanα． (4)sin(π-α)=sinα，cos(π-α)=-cosα，tan(π-α)=-tanα．
口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．
(5)sin?
??π?
-α?=cosα，cos -α?=sinα． ?2??2???π?
+α?=cosα，cos +α?=-sinα． ?2??2?
π
(6)sin?
π
口訣：奇變偶不變，符號看象限．
14、函數(shù)y=sin_的圖象上所有點向左（右）平移?個單位長度，得到函數(shù)
y=sin(_+?)的圖象；再將函數(shù)y=sin(_+?)的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的
1
ω
倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=sin(ω_+?)的圖象；再將函數(shù)
（縮短）到原來的a倍（橫坐標(biāo)不變），y=sin(ω_+?)的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長得到函數(shù)y=asin(ω_+?)的圖象．
函數(shù)y=sin_的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的得到函數(shù)
y=sinω_的圖象；再將函數(shù)y=sinω_的圖象上所有點向左（右）平移
1
ω
倍（縱坐標(biāo)不變），
?
個單位ω
長度，得到函數(shù)y=sin(ω_+?)的圖象；再將函數(shù)y=sin(ω_+?)的圖象上所有點
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的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的a倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=asin(ω_+?)的圖象．
函數(shù)y=asin(ω_+?)(a>0,ω>0)的性質(zhì)：
①振幅：a；②周期：t=
2π
ω
；③頻率：f=
1ω
=；④相位：ω_+?；⑤初相：t2π
?．
函數(shù)y=asin(ω_+?)+b，當(dāng)_=_1時，取得最小值為ymin ；當(dāng)_=_2時，取得最
11t
(yma_-ymin)，b=(yma_+ymin)，=_2-_1(_1
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)： 函 y=cos_ y=tan_ 數(shù) y=sin_ 性
大值為yma_，則a=
質(zhì)
圖象
定義域 值域
r
r
?π?__≠kπ+,k∈z??
2??
r
[-1,1]
當(dāng)_=2kπ+
[-1,1]
(k∈z)
當(dāng)_=2kπ(k∈z)時，
π
2
最
值
時，yma_=1；當(dāng)
_=2kπ-
yma_=1；當(dāng)_=2kπ+π
π
2
(k∈z)時，ymin=-1．
2π
既無值也無最小值
(k∈z)時，ymin=-1．
2π 周
期性 奇奇函數(shù) 偶性 單
ππ??
調(diào)在?2kπ-,2kπ+?
22??
性
π
偶函數(shù) 奇函數(shù)
在[2kπ-π,2kπ](k∈z)上是
增
函
數(shù)
；
在
ππ??
在 kπ-,kπ+?
22??
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(k∈z)上是增函數(shù)；在 [2kπ,2kπ+π]
π3π??
2kπ+,2kπ+??22??
(k∈z)上是增函數(shù)．
(k∈z)上是減函數(shù)．
(k∈z)上是減函數(shù)．
對稱中心(kπ,0)(k∈z) 對
對稱軸稱
π
性 _=kπ+(k∈z)
2
對
稱
中
心
對
稱
中
心
π??kπ+,0?(k∈z)
2??
對稱軸_=kπ(k∈z)
?kπ?
,0?(k∈z)
?2?
無對稱軸
16、向量：既有大小，又有方向的量． 數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．
有向線段的三要素：起點、方向、長度． 零向量：長度為0的向量．
單位向量：長度等于1個單位的向量． 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行． 相等向量：長度相等且方向相同的向量． 17、向量加法運算：
⑴三角形法則的特點：首尾相連． ⑵平行四邊形法則的特點：共起點．
⑶三角形不等式：a-b≤a+b≤a+b．
⑷運算性質(zhì)：①交換律：a+b=b+a；②結(jié)合律：a+b+c=a+b+c；③
a+0=0+a=a．
c
⑸坐標(biāo)運算：設(shè)a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，則a+b=(_1+_2,y1+y2)．
18、向量減法運算：
⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．
a
b
a
b
⑵坐標(biāo)運算：設(shè)a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，則a-b=(_1-_2,y1-y2)． 設(shè)a、b兩點的坐標(biāo)分別為(_1,y1)，(_2,y2)，則ab=
-(_1
_2y,1-y2
)．
a-b=ac-ab=bc
19、向量數(shù)乘運算：
⑴實數(shù)λ與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa． ①
λa=λa；
第4 / 6頁
②當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0
時，λa=0．
⑵運算律：①λ(μa)=(λμ)a；②(λ+μ)a=λa+μa；③λa+b=λa+λb．
⑶坐標(biāo)運算：設(shè)a=(_,y)，則λa=λ(_,y)=(λ_,λy)．
20、向量共線定理：向量aa≠0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有一個實數(shù)λ，使b=λa．
設(shè)a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，其中b≠0，則當(dāng)且僅當(dāng)_1y2-_2y1=0時，向量a、bb≠0
共線．
21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)
的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2．（不共線的向量e1、e2作為
這一平面內(nèi)所有向量的一組基底）
22、分點坐標(biāo)公式：設(shè)點p是線段p1p2上的一點，p1、p2的坐標(biāo)分別是(_1,y1)，(_2,y2)，
?_+λ_2y1+λy2?當(dāng)p1p=λpp2時，點p的坐標(biāo)是 1,?．
1+λ1+λ??
23、平面向量的數(shù)量積：
⑴a?b=abcosθa≠0,b≠0,0≤θ≤180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．
⑵性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①a⊥b?a?b=0．②當(dāng)a與b同向時，a?b=ab； 2
2 當(dāng)a與b反向時，a?b=-ab；a?a=a=a或a=．③a?b≤ab．
⑶運算律：①a?b=b?a；②(λa)?b=λa?b=a?λb；③a+b?c=a?c+b?c．
⑷坐標(biāo)運算：設(shè)兩個非零向量a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，則a?b=_1_2+y1y2．
22
若a=(_,y)，則a=_+y，或a=
2
設(shè)a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，則a⊥b?_1_2+y1y2=0．
設(shè)a、b都是非零向量，a=(_1,y1)，b=(_2,y2)，θ是a與b的夾角，
則
a?b
cosθ==．
ab24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式： ⑴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ；
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⑵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ； ⑶sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ； ⑷sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ； ⑸tan(α-β)=
tanα-tanβ
（tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)）；
1+tanαtanβ
⑹tan(α+β)=
tanα+tanβ
（tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)）．
1-tanαtanβ
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin2α=2sinαcosα． ⑵
cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α
1-cos2α
）． 2
（
cos2α=
cos2α+1
2
，
sin2α=
⑶tan2α=
2tanα
．
1-tan2α
(α+?)，其中tan?=
26
、asinα+bcosα=
b． a
【第3篇 高一數(shù)學(xué)必修四三角函數(shù)誘導(dǎo)公式總結(jié)
導(dǎo)語學(xué)習(xí)是一個堅持不懈的過程，走走停停便難有成就。比如燒開水，在燒到80度是停下來，等水冷了又燒，沒燒開又停，如此周而復(fù)始，又費精力又費電，很難喝到水。學(xué)習(xí)也是一樣，學(xué)任何一門功課，都不能只有三分鐘熱度，而要一鼓作氣，天天堅持，久而久之，不論是狀元還是伊人，都會向你招手。高一頻道為正在努力學(xué)習(xí)的你整理了《高一數(shù)學(xué)必修四三角函數(shù)誘導(dǎo)公式總結(jié)》，希望對你有幫助！
公式一：
設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：
sin(2kπ+α)=sinα(k∈z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈z)
公式二：
設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
公式三：
任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈z)
函數(shù)復(fù)習(xí)資料
一、定義與定義式：
自變量_和因變量y有如下關(guān)系：
y=k_+b
則此時稱y是_的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)b=0時，y是_的正比例函數(shù)。
即：y=k_(k為常數(shù)，k≠0)
二、一次函數(shù)的性質(zhì)：
1.y的變化值與對應(yīng)的_的變化值成正比例，比值為k
即：y=k_+b(k為任意不為零的實數(shù)b取任何實數(shù))
2.當(dāng)_=0時，b為函數(shù)在y軸上的截距。
三、一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)：
1.作法與圖形：通過如下3個步驟
(1)列表;
(2)描點;
(3)連線，可以作出一次函數(shù)的圖像——一條直線。因此，作一次函數(shù)的圖像只需知道2點，并連成直線即可。(通常找函數(shù)圖像與_軸和y軸的交點)
2.性質(zhì)：(1)在一次函數(shù)上的任意一點p(_，y)，都滿足等式：y=k_+b。(2)一次函數(shù)與y軸交點的坐標(biāo)總是(0，b)，與_軸總是交于(-b/k，0)正比例函數(shù)的圖像總是過原點。
3.k，b與函數(shù)圖像所在象限：
當(dāng)k>0時，直線必通過一、三象限，y隨_的增大而增大;
當(dāng)k<0時，直線必通過二、四象限，y隨_的增大而減小。
當(dāng)b>0時，直線必通過一、二象限;
當(dāng)b=0時，直線通過原點
當(dāng)b<0時，直線必通過三、四象限。
特別地，當(dāng)b=o時，直線通過原點o(0，0)表示的是正比例函數(shù)的圖像。
這時，當(dāng)k>0時，直線只通過一、三象限;當(dāng)k<0時，直線只通過二、四象限
四、確定一次函數(shù)的表達式：
已知點a(_1，y1);b(_2，y2)，請確定過點a、b的一次函數(shù)的表達式。
(1)設(shè)一次函數(shù)的表達式(也叫解析式)為y=k_+b。
(2)因為在一次函數(shù)上的任意一點p(_，y)，都滿足等式y(tǒng)=k_+b。所以可以列出2個方程：y1=k_1+b……①和y2=k_2+b……②
(3)解這個二元一次方程，得到k，b的值。
(4)最后得到一次函數(shù)的表達式。
五、一次函數(shù)在生活中的應(yīng)用：
1.當(dāng)時間t一定，距離s是速度v的一次函數(shù)。s=vt。
2.當(dāng)水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水時間t的一次函數(shù)。設(shè)水池中原有水量s。g=s-ft。
六、常用公式：(不全，希望有人補充)
1.求函數(shù)圖像的k值：(y1-y2)/(_1-_2)
2.求與_軸平行線段的中點：|_1-_2|/2
3.求與y軸平行線段的中點：|y1-y2|/2
4.求任意線段的長：√(_1-_2)^2+(y1-y2)^2(注：根號下(_1-_2)與(y1-y2)的平方和)
【第4篇 高一數(shù)學(xué)必修四(公式總結(jié))
高一數(shù)學(xué)公式總結(jié)
復(fù)習(xí)指南
1． 注重基礎(chǔ)和通性通法
在平時的學(xué)習(xí)中，應(yīng)立足教材，學(xué)好用好教材，深入地鉆研教材，挖掘教材的潛力，注意避免眼高手低，偏重難題，搞題海戰(zhàn)術(shù)，輕視基礎(chǔ)知識和基本方法的不良傾向，當(dāng)然注重基礎(chǔ)和通性通法的同時，應(yīng)注重一題多解的探索，經(jīng)常利用變式訓(xùn)練和變式引申來提高自己的分析問題、解決問題的能力。
2.注重思維的嚴(yán)謹(jǐn)性
平時學(xué)習(xí)過程中應(yīng)避免只停留在“懂”上，因為聽懂了不一定會，會了不一定對，對了不一定美。即數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的五種境界：聽——懂——會——對——美。
我們今后要在第五種境界上下功夫，每年的高考結(jié)束，結(jié)果下來都可以發(fā)現(xiàn)我們宿遷市的考生與南方的差距較大，這就是其中的一個原因。
另外我們的學(xué)生的解題的素養(yǎng)不夠，比如僅僅一點“規(guī)范答題”問題，我們老師也強調(diào)很多遍，但作為學(xué)生的你們又有幾人能夠聽進去！
希望大家還是能夠做到我經(jīng)常所講的做題的“三觀” ：
1. 審題觀 2. 思想方法觀 3. 步驟清晰、層次分明觀
3. 注重應(yīng)用意識的培養(yǎng)
注重培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光觀察和分析實際問題，提高數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，達到培養(yǎng)創(chuàng)新精神和實踐能力的目的。
4.培養(yǎng)學(xué)習(xí)與反思的整合
建構(gòu)主義學(xué)習(xí)觀認(rèn)為知識并不是簡單的由教師或者其他人傳授給學(xué)生的，而只能由學(xué)生依據(jù)自身已有的知識、經(jīng)驗，主動地加以建構(gòu)。學(xué)習(xí)是一個創(chuàng)造的過程，一個批判、選擇、和存疑的過程，一個充滿想象、探索和體驗的過程。你不想學(xué)，老師強行的逼迫是不容易的或者說是作用不大，俗話說“強扭的瓜不甜”嘛！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不但要對概念、結(jié)論和技能進行記憶，積累和模仿，而且還要動手實踐，自主探索，并且在獲得知識的基礎(chǔ)上進行反思和修正。（這也就是我們經(jīng)常將讓大家一定要好好預(yù)習(xí)，養(yǎng)成自學(xué)的好習(xí)慣。）記得有一位中科院的教授曾經(jīng)給“科學(xué)”下了一個定義：科學(xué)就是以懷疑和接納新知識作為進步的標(biāo)準(zhǔn)的一門學(xué)問，仔細(xì)想來確實很有道理！
所以我們在平時學(xué)習(xí)中要注意反思，只有這樣才能使內(nèi)容得到鞏固，知識的得到拓展，能力得到提高，思維得到優(yōu)化，創(chuàng)新能力得到真正的發(fā)展，希望大能夠讓數(shù)學(xué)反思成為我們的自然的習(xí)慣！
5.注重平時的聽課效率
聽課效率高不僅可以讓自己深刻的理解知識，而且事半功倍，可以省好多的時間。而有些同學(xué)則認(rèn)為上課時聽不到什么，索性就不聽，抓緊課堂上的每一點時間做題，多做幾道題，心里就踏實。這種認(rèn)識是不科學(xué)的，想象如果上課沒有用的話，國家還開辦學(xué)校干嘛？只要印刷課本就足夠了，學(xué)生買了書就可以自己學(xué)習(xí)到時候參加考試就行了。
想想好多東西還是在課堂上聆聽的，聽聽老師對問題的分析和解題技巧，老師是如何想到的，與自己預(yù)習(xí)時的想法比較。課堂上記下比較重要的東西，更重要的是跟著老師的思路，注重老師對題目的分析過程。課后寧愿花時間去整理筆記，因為整理筆記實際上是一種知識的整合和再創(chuàng)造！回憶課堂上老師是怎樣講的，自己在整理時有比較好的想法，就記下來，抓住自己思維的火花，因為較為深刻的思維火花往往是稍縱即逝的。
在這里我再一次強調(diào)聽課要做到“五得”
? 聽得懂 ? 想得通 ? 記得住 ? 說得出 ? 用得上6. 注重思想方法的學(xué)習(xí)
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)重在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，它是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象和概括，它蘊含于數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，也是歷年來高考數(shù)學(xué)命題的特點之一。不少學(xué)者認(rèn)為：
“傳授知識”是數(shù)學(xué)的一種境界，加上“能力培養(yǎng)”是稍高的境界，再加上“方法滲透”是較高的境界，而再加上“提高修養(yǎng)（指數(shù)學(xué)文化和非智力引力的介入）”則是境界。作為學(xué)生一定要深刻理解數(shù)學(xué)的思想方法，它是數(shù)學(xué)的精髓，只有運用數(shù)學(xué)思想方法，才能把數(shù)學(xué)的知識和技能轉(zhuǎn)化為分析問題和解決問題的能力，才能體現(xiàn)數(shù)學(xué)的學(xué)科特點，才能形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)。即使在以后我們走上社會，在工作崗位上我們的這種數(shù)學(xué)素養(yǎng)就會內(nèi)化為自身的較深的修養(yǎng)，從而使得自己的氣質(zhì)得以升華，它對于我們今后的做人和處事有很大的指導(dǎo)意義，再加上我們的人文素養(yǎng)就可以造就自己哲學(xué)修養(yǎng)。
真心希望我的這些忠告能夠?qū)δ憬窈蟮膶W(xué)習(xí)有所幫助，果真如此，也就聊以欣慰了！
基本三角函數(shù)
ⅰ
ⅱ ? 終邊落在_軸上的角的集合：?????,??z?? 終邊落在y軸上的角的集合：????????????,??z????,??z?終邊落在與坐標(biāo)軸上的角的集合：??
?? 22????
360度?2? 弧度
l? r
?11s?l r?? r2
221???180.弧度
180 1 弧度?度180??? 弧度?倒數(shù)關(guān)系：sin?csc??1 正六邊形對角線上對應(yīng)的三角函數(shù)之積為1
cos?sec??1
tan2??1?sec2?
平方關(guān)系：sin2??cos??1 21?cot2??csc2?
乘積關(guān)系：sin??tan?cos? ， 頂點的三角函數(shù)等于相鄰的點對應(yīng)的函數(shù)乘積
ⅲ 誘導(dǎo)公式? 終邊相同的角的三角函數(shù)值相等
sin???2k???sin? , k?z cos???2k???cos? , k?z
tan???2k???tan? , k?z
?角?與角??關(guān)于_軸對稱sin??????sin?
cos?????cos?
tan??????tan?
?角???與角?關(guān)于y軸對稱sin??????sin?
cos???????cos?
tan???????tan? ?角???與角?關(guān)于原點對稱sin???????sin?
tan??????tan?cos???????cos?
?角?
2??與角?關(guān)于y?_對稱???sin
?????cos?cos??2?? ??????cos?????sin?
cos??????sin??2??2?
??????tan?????cot?tan??????cot??2??2?
上述的誘導(dǎo)公式記憶口訣：“奇變偶不變，符號看象限”
ⅳ 周期問題
?
2?y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t????y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??y?acos??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??
y?asin??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b ?0 , t?2?y?asin??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?2?
2?y?acos??_??? ?b , a?0 , ? ? 0 , b?0 , t?????t??y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 ,
?
y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?
?
??
y?acot??_??? , a?0 , ? ? 0 , t?
?
ⅴ 三角函數(shù)的性質(zhì)
y?atan??_??? , a?0 , ? ? 0 , t??怎樣由y?sin_變化為y?asin??_????k ？ 振幅變化：y?sin_左右伸縮變化：
y 左右平移變化 _??)
上下平移變化y?asin(?_??)?k
ⅵ平面向量共線定理：一般地，對于兩個向量 a,a?0,b,如果有
?
一個實數(shù)?,使得??,?,則與與是共線向量 那么又且只有一個實數(shù)?,使得??.
ⅶ 線段的定比分點
?
.
op?
?
?當(dāng)??1時 ?當(dāng)??1時
ⅷ 向量的一個定理的類似推廣
向量共線定理： ?? ??
?推廣
? 平面向量基本定理： a??e ??e , ??其中e1,e2?1122
??
?不共線的向量
?
?推廣
??1e1 ??2e2 ??3e3,
空間向量基本定理： ?? 其中e,e,e為該空間內(nèi)的三個123??
?不共面的向量???
ⅸ一般地，設(shè)向量??_1,y1?,??_2,y2?且?,如果∥那么_1y2?_2y1?0 反過來，如果_1y2?_2y1?0,則∥.
ⅹ 一般地，對于兩個非零向量a,b 有 ???，其中θ為兩向量的夾角。
cos??
?
_1_2?y1y2_1
2?
y1
2
_2
2
?
y2
2
特別的，??? ?
2
?
如果 ??_1,y1? , ??_2,y2? 且? , 則??_1_2?y1y2特別的 , a?b?_1_2?y1y2?0
? 若正n邊形a1a2???an的中心為o , 則oa1?oa2?????oan?
三角形中的三角問題
a?b?c ?a?b?c?? ,a?b?c??,?-2
2
2
2
2
?a?b??c?
sin?a?b??sin?c? cos?a?b???cos?c? sin???cos??
?2??2?
?a?b??c?cos???sin??
?2??2?
?正弦定理：
abca?b?c
???2r? sinasinbsincsina?sinb?sinc
余弦定理：
a2?b2?c2?2bccosa , b2?a2?c2?2accosb c?a?b?2abcosc
2
2
2
b2?c2?a2a2?c2?b2cosa ?, cosb ?
2bc2ac
變形： 222
a?b?c
cosc ?2ab
?tana?tanb?tanc?tanatanbtanc
三角公式以及恒等變換
?兩角的和與差公式：sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)
sin??????sin?cos??cos?sin? , s(???)
cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)cos??????cos?cos??sin?sin? , c(???)tan??tan?
, t(???)
1?tan?tan?tan??tan?
tan?????? , t(???)
1?tan?tan?tan??????
?二倍角公式：
sin2??2sin?cos?
cos2??2cos??1?1?2sin??cos??sin?
2tan?
tan2??
1?tan2?
2
2
2
2
tan??tan??tan??????1?tan?tan??
變形： tan??tan??tan??????1?tan?tan??
tan??tan??tan??tan?tan?tan?
其中?,?,?為三角形的三個內(nèi)角
?半角公式：
sin
?
2
??
1?cos2
?coscos??
22
2
?
tan
?
2
??
1?cossin?1?cos?
??
1?cos?1?cos?sin?
?降冪擴角公式：cos2??1?cos2?, sin2??1?cos2?
2
1
?sin??????sin??????21
?積化和差公式：cos?sin???sin??????sin??????
21
cos?cos???cos??????cos??????
21
sin?sin????cos??????cos??????
2
sin?cos??
??????????
sin??sin??2sin??cos??
22??????????????
sin??sin??2cos??sin??
?和差化積公式：?2??2?
?????????
cos??cos??2cos??cos?
?2??2?????????
cos??cos???2sin??sin?
?2??2
2tan
sin??
s?s?2sc
（ s?s?2cs）
c?c?2cc??c?c??2ss
?
???
?
1?tan2
2
?萬能公式:
1?tan2
cos??
1?tan2
?2
( s?t?c?? )
tan??
2tan
?
1?tan2
2
3
?三倍角公式：sin3??3sin??4sin?
3tan??tan3?
tan3??
31?3tan2?cos3??4cos??3cos?
“三四立，四立三，中間橫個小扁擔(dān)”
?
1. y?asin??bcos??
b
aa
2. y?acos??bsin??a2?b2sin????? 其中 , tan??
bb
? a2?b2cos????? 其中 , tan??ab
3. y?asin??bcos??a2?b2sin????? 其中 , tan??
aa
??a2?b2cos????? 其中 , tan??b
a2?b2sin????? 其中 , tan??
4. y?acos??bsin??
a2?b2sin?????
a
bb
?a2?b2cos????? 其中 , tan??a
注:不同的形式有不同的化歸,相同的形式也有不同的化歸,進而可以 ??a2?b2sin????? 其中 , tan??求解最值問題. 不需要死記公式,只要記憶 1. 的推導(dǎo)即表達技巧,其它的就可以直接寫出.
一般是表達式第一項是正弦的就用兩角和與差的正弦來靠,第一項是余弦的就用兩角和與差的與弦來靠. 比較容易理解和掌握.
tan??tan?
, t(???)
? 補充： 1. 由公式 1?tan?tan?
tan??tan?
tan?????? , t(???)
1?tan?tan?
tan??????
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可以推導(dǎo) ： 當(dāng)??????? 在有些題目中應(yīng)用廣泛。
2. tan??tan??tan?????tan?tan??tan????? 3. 柯西不等式(a?b)(c?d)?(ac?bd),a,b,c,d?r.
補充
1．常見三角不等式：（1）若_?(0,
(2) 若_?(0,
2
2
2
2
2
?
4
時, ??z , ?1?tan???1?tan???2
?
2
)，則sin_?_?tan_.
?
2
22
2. sin(???)sin(???)?sin??sin?(平方正弦公式);
)，則1?sin_?cos_?|sin_|?|cos_|?1.
cos(???)cos(???)?cos2??sin2?.
asin??bcos?
???)(輔助角?所在象限由點(a,b)的象限決定,
b
tan?? ).
a
3. 三倍角公式 ：sin3??3sin??4sin??4sin?sin(
3
?
??)sin(??). 33
?
cos3??4cos3??3cos??4cos?cos(??)cos(??).333tan??tan3???
tan3???tan?tan(??)tan(??).
1?3tan2?33
4.三角形面積定理：（1）s?
??
111
aha?bhb?chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c邊222
上的高）.
111
absinc?bcsina?
casinb.(3)222
s?oab?5.三角形內(nèi)角和定理在△abc中，有a?b?c???c???(a?b)
c?a?b????2c?2??2(a?b).
222
（2）s?
6. 正弦型函數(shù)y?asin(?_??)的對稱軸為_?
k??
?
??
?
(k?z)；對稱中心
為(
k???
,0)(k?z)；類似可得余弦函數(shù)型的對稱軸和對稱中心； ?
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〈三〉易錯點提示： 1. 在解三角問題時，你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎？你注意到正弦函數(shù)、
余弦函數(shù)的有界性了嗎？ 2. 在三角中，你知道1等于什么嗎？（
這些統(tǒng)稱為1的代換) 常數(shù) “1”
的種種代換有著廣泛的應(yīng)用．
3. 你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角. 異角化同角，異名化同名，高次化低次） 4. 你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？
